opencvで交点を求める方法

こんにちは、タナカです。

この記事では、画像上に描画された2本の直線の交点を求める方法を解説します。

この記事の内容

2本の直線の交点を求める方法がわかる
pythonを使って交点を求めるコードが書けるようになる

1. 交点の確認
2. 交点を求める手順
まとめ

1. 交点の確認

図に示したような直線と直線の交点をpythonを使って求めたいと思います。

2. 交点を求める手順

交点を求める手順は下記のとおりです。後ほど、図とコードの両方を示しながら説明していきます。

1. ベクトルで考える
2. 二次方程式を立てる
3. 二次方程式から変数ua, ubを求める
4. 交点を求める

2-1. ベクトルで考える

画像上に描画されたものはベクトルで考えることができます。ベクトルで考える場合、原点o（0, 0）を可視化するとわかりやすいので書いています。

それぞれp1、p2、p3、p4までのベクトルをv1、v2、v3、v4としています。コードで書くとこのようになります。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import cv2

height = 300
width = 300

# 真っ白な300x300の画像
white = np.ones([height, width, 3], dtype = np.uint8) * 255

# p1とp2の座標を下記とする
p1 = (70, 240)
p2 = (240, 70)
p3 = (130, 30)
p4 = (180, 200)
# o = (0, 0) 省略

# v1, v2を作成する
# np.array(o)は0ベクトルなので省略
v1 = np.array(p1) # - np.array(o)
v2 = np.array(p2) # - np.array(o)
v3 = np.array(p3) # - np.array(o)
v4 = np.array(p4) # - np.array(o)

# 点を描画
cv2.circle(white, p1 , 4, (0, 0, 255), -1) # p1
cv2.circle(white, p2 , 4, (0, 0, 255), -1) # p2
cv2.circle(white, p3 , 4, (0, 0, 255), -1) # p3
cv2.circle(white, p4 , 4, (0, 0, 255), -1) # p4

# 線を描画
cv2.line(white, p1, p2, (0, 0, 0), 1)
cv2.line(white, p3, p4, (0, 0, 0), 1)

# 図の可視化
plt.imshow(white)
plt.show()

2-2. 二次方程式を立てる

交点までのベクトルは各ベクトルを使って2つの式を立てることができます。

$$Va = V1 + u_a(V2 – V1)$$ $$Vb = V3 + u_b(V4 – V3)$$

uaとubはそれぞれV2-V1とV4-V3の長さを調整する値になります。Va=Vbとなる点を考えて、uaとubを導きます。

$$V1 + u_a(V2 – V1) = V3 + u_b(V4 – V3)$$

さらに各ベクトルをx成分とy成分に分けて書くとこのようになります。

$$x1 + u_a(x2 – x1) = x3 + u_b(x4 – x3)$$ $$y1 + u_a(y2 – y1) = y3 + u_b(y4 – y3)$$

2-3. 二次方程式から変数ua, ubを求める

先ほどの2つの式から、uaとubについて解くと下記になります。

$$u_a = \frac{(x4 – x3)(y1 – y3) – (y4 – y3)(x1 – x3)}{(y4 – y3)(x2 – x1) – (x4 – x3)(y2 – y1)}$$ $$u_b = \frac{(x2 – x1)(y1 – y3) – (y2 – y1)(x1 – x3)}{(y4 – y3)(x2 – x1) – (x4 – x3)(y2 – y1)}$$

例えば、交点ベクトルのx成分、y成分はこのようになります。

$$x = x1 + u_a(x2 – x1)$$ $$y = y1 + u_a(y2 – y1)$$

2-4. 交点を求める

先ほどの値を使って実際に交点を求めるコードを書いていきます。

先ほどのコードに追記するコードがこちらになります。

# 成分に分ける
x1, y1 = v1
x2, y2 = v2
x3, y3 = v3
x4, y4 = v4

# 分子、分母の値
denominator = (y4 - y3) * (x2 - x1) - (x4 - x3) * (y2 - y1)
nua = (x4 - x3) * (y1 - y3) - (y4 - y3) * (x1 - x3)
nub = (x2 - x1) * (y1 - y3) - (y2 - y1) * (x1 - x3)

# ua, ubを求める
ua = nua / denominator
ub = nub / denominator

# 交点ベクトルのx, y
x = x1 + ua * (x2 - x1)
y = y1 + ua * (y2 - y1)

# 交点を描画
cv2.circle(white, (int(x), int(y)), 4, (255, 0, 0), -1)